🏎️
미분 = 순간 속도
자동차가 바로 지금 얼마나 빠르게 달리는지를 나타내는 속도계와 비슷합니다.
STEP 01
먼저 ‘변화’가 무엇인지 알아볼까요?
미분은 변화의 빠르기를 나타냅니다. 따라서 미분을 배우기 전에 ‘변화량’을 이해하면 좋습니다.
평균 변화율
2시간 동안 100km를 이동했다면 평균 속력은 다음과 같이 구합니다.
평균 속력 =
이동 거리 ÷ 걸린 시간
100km ÷ 2시간 = 50km/h
전체 구간에서 평균적으로 1시간에 50km를 이동했다는 뜻
하지만 실제로는 출발할 때 느렸고, 중간에는 빨랐을 수도 있습니다. 그렇다면 바로 지금의 속도는 어떻게 알 수 있을까요?
평균과 순간은 다릅니다
📚
평균 점수
여러 시험 점수를 모두 더한 뒤 시험 횟수로 나눈 값
🌡️
평균 기온
하루 동안 측정한 여러 온도의 평균값
🚗
순간 속도
자동차 속도계가 바로 지금 보여주는 속도
미분은 ‘순간’에 집중합니다.
특정한 한 지점에서 얼마나 빠르게 변하는지 알아봅니다.
STEP 02 · DIFFERENTIATION
미분은 그래프의 기울기를 구하는 방법
그래프가 가파르게 올라가면 미분값이 크고, 내려가면 미분값이 음수가 됩니다.
미분을 한 문장으로
미분 = 순간 변화율 = 접선의 기울기
한 점에서 함수가 어느 방향으로 얼마나 빠르게 변하는지 나타냅니다.
f(x) = x² → f′(x) = 2x
예를 들어 \(f(x)=x^2\)일 때 미분한 함수는 \(f'(x)=2x\)입니다.
1
x = 1일 때 기울기
f′(1) = 2 × 1 = 2
2
x = 2일 때 기울기
f′(2) = 2 × 2 = 4
3
x = 3일 때 기울기
f′(3) = 2 × 3 = 6
자동차 속도계와 비슷해요
이동 거리를 시간으로 미분하면 속도가 됩니다. 속도계는 자동차 위치가 지금 얼마나 빠르게 변하는지 보여줍니다.
직접 움직여 보는 접선
1.0
x=1에서 접선의 기울기는 2입니다.
STEP 03 · INTEGRATION
적분은 작은 값을 계속 더하는 방법
그래프와 x축 사이를 아주 얇은 직사각형으로 나누고, 그 직사각형들의 넓이를 모두 더한다고 생각하면 됩니다.
적분을 한 문장으로
적분 = 작은 양을 모아 전체를 구하는 것
넓이, 이동 거리, 물의 양처럼 누적된 결과를 구할 수 있습니다.
∫₀² x² dx = 8/3
\(y=x^2\) 그래프와 x축 사이의 넓이를 0부터 2까지 더하면 \(\frac{8}{3}\)이 됩니다.
직사각형을 더 작고 많이 만들수록 실제 곡선의 넓이에 가까워집니다.
직사각형으로 넓이를 채워 보기
8
직사각형 8개를 이용해 넓이를 근사하고 있습니다.
STEP 04
미분과 적분의 차이
둘은 서로 다른 계산처럼 보이지만, 변화와 누적을 서로 반대 방향에서 바라보는 개념입니다.
f′
미분
- 한 점에서의 변화에 집중합니다.
- 그래프의 기울기를 구합니다.
- 위치를 미분하면 속도가 됩니다.
- 증가와 감소를 판단할 수 있습니다.
- 최댓값과 최솟값을 찾는 데 사용합니다.
VS
∫
적분
- 일정한 구간 전체에 집중합니다.
- 작은 변화량을 모두 더합니다.
- 속도를 적분하면 이동 거리가 됩니다.
- 곡선 아래쪽의 넓이를 구할 수 있습니다.
- 누적된 양을 구하는 데 사용합니다.
미분과 적분은 서로 반대되는 관계입니다
미분은 전체의 변화를 잘게 분석하고, 적분은 잘게 나누어진 변화를 다시 합칩니다. 이것을 미적분의 기본정리라고 합니다.
미분하기
거리 → 속도
이동한 위치가 시간에 따라 얼마나 빠르게 변하는지 구합니다.
⇄
적분하기
속도 → 거리
매 순간의 속도를 시간 동안 모두 더해 이동 거리를 구합니다.
STEP 05
생활 속에서 어디에 사용될까요?
미분과 적분은 단순한 시험 문제가 아니라, 현실의 변화를 계산하는 중요한 도구입니다.
미분이 사용되는 곳
🚘
자동차의 순간 속도
위치가 시간에 따라 변하는 빠르기를 계산합니다.
📈
주가의 변화 속도
가격이 얼마나 빠르게 오르거나 내리는지 분석합니다.
🧪
온도 변화
시간에 따라 온도가 변하는 속도를 계산합니다.
적분이 사용되는 곳
🏃
총 이동 거리
매 순간의 속도를 더해서 전체 이동 거리를 구합니다.
🌧️
누적 강수량
시간별로 내린 비의 양을 모두 더합니다.
🏗️
불규칙한 모양의 넓이
곡선으로 이루어진 도형의 넓이를 계산합니다.
CHECK
간단한 확인 문제
지금까지 배운 내용을 확인해 보세요.
자동차의 속도가 시간에 따라 주어졌을 때,
자동차가 이동한 전체 거리를 구하려면 무엇을 사용해야 할까요?
답을 선택해 보세요.
이 세 가지만 기억하세요!
📉
미분
한 점에서 얼마나 빠르게 변하는지 구합니다.
📊
적분
작은 양을 모두 더해 전체를 구합니다.
🔄
서로 반대 관계
미분으로 나누고 적분으로 다시 합칩니다.