지수함수와 로그함수 쉽게 이해하기

STEP 01

먼저 거듭제곱부터 복습해 볼까요?

지수함수를 이해하려면 같은 수를 반복해서 곱하는 거듭제곱의 의미를 알아야 합니다.

거듭제곱의 의미

2³ = 2 × 2 × 2 = 8

밑

반복해서 곱하는 수입니다.

지수

밑을 몇 번 곱하는지 알려주는 수입니다.

거듭제곱의 값

반복해서 곱한 결과입니다.

지수가 1 증가하면 이전 값에 밑을 한 번 더 곱합니다.

2의 거듭제곱이 커지는 모습

2⁰

2¹

2²

2³

2⁴

지수는 1씩 증가하지만 결과는 \(1, 2, 4, 8, 16\)처럼 점점 더 빠르게 커집니다.

STEP 02 · EXPONENTIAL FUNCTION

지수함수는 지수가 변하는 함수입니다

밑은 고정되어 있고 지수 부분에 \(x\)가 들어간 함수를 지수함수라고 합니다.

지수함수의 기본 모양

y = aˣ

여기서 \(a\)는 밑이며, 다음 조건을 만족해야 합니다.

a > 0, a ≠ 1 밑은 양수이고 1이 아니어야 합니다.

✓

y = 2ˣ

밑이 2인 지수함수입니다.

✓

y = (1/2)ˣ

밑이 0과 1 사이인 지수함수입니다.

모든 지수함수는 (0, 1)을 지납니다.

a⁰은 항상 1이기 때문입니다.

밑을 움직여 그래프를 확인하세요

밑 a

2.0

x값

1.0

밑이 2일 때 y=2ˣ은 오른쪽으로 갈수록 빠르게 증가합니다.

x	y = 2ˣ

STEP 03

밑의 크기에 따라 그래프 방향이 달라집니다

밑이 1보다 큰지, 0과 1 사이인지에 따라 지수함수는 증가하거나 감소합니다.

a > 1

증가하는 지수함수

y = 2ˣ

\(x\)가 커질수록 함수값이 매우 빠르게 증가합니다.

오른쪽으로 갈수록 증가 인구 증가, 복리 이자, 세균 증식 등에 사용됩니다.

0 < a < 1

감소하는 지수함수

y = (1/2)ˣ

\(x\)가 커질수록 함수값이 0에 가까워집니다.

오른쪽으로 갈수록 감소 방사성 물질 감소, 약물 농도 감소 등에 사용됩니다.

STEP 04 · LOGARITHMIC FUNCTION

로그는 지수를 거꾸로 찾는 계산입니다

거듭제곱의 결과를 알고 있을 때, 밑을 몇 번 곱했는지 찾는 것이 로그입니다.

로그의 가장 쉬운 의미

2³ = 8

위 식에서 “2를 몇 번 곱하면 8이 되는가?”라고 물으면 답은 3입니다.

log₂8 = 3

2³ = 8 ⇔ log₂8 = 3 두 식은 같은 내용을 서로 다른 방법으로 표현한 것입니다.

로그의 밑

반복해서 곱하는 수입니다.

진수

거듭제곱의 결과입니다.

로그의 값

밑을 몇 번 곱했는지를 나타냅니다.

로그 값을 직접 찾아보세요

2를 몇 번 곱하면 8이 될까요?

log₂8 = 3

밑 a

지수 n

2³ = 8 따라서 log₂8 = 3입니다.

STEP 05

로그함수는 지수함수의 반대 방향입니다

로그함수는 \(y=\log_a x\)로 나타내며, \(x\)에는 양수만 들어갈 수 있습니다.

로그함수의 기본 특징

y = logₐx

①

x는 항상 양수

로그에서 진수는 0보다 커야 합니다.

②

항상 (1, 0)을 통과

logₐ1은 항상 0입니다.

③

지수함수와 역함수 관계

x와 y의 역할을 서로 바꾼 관계입니다.

로그함수는 천천히 증가합니다. 큰 수의 크기를 간단하게 표현하는 데 유용합니다.

지수함수와 로그함수를 함께 비교하세요

밑 a

2.0

y=2ˣ과 y=log₂x는 직선 y=x를 기준으로 서로 대칭입니다.

지수함수와 로그함수는 서로 역함수입니다

지수함수가 입력값 \(x\)를 결과 \(y\)로 바꾸었다면, 로그함수는 그 결과 \(y\)를 다시 원래 입력값 \(x\)로 돌려놓습니다.

지수함수

3을 넣으면 8이 나옵니다

\(2^3=8\)이므로 지수함수는 3을 8로 바꿉니다.

⇄

로그함수

8을 넣으면 3이 나옵니다

\(\log_2 8=3\)이므로 로그함수는 8을 3으로 되돌립니다.

STEP 06

생활 속에서 어디에 사용될까요?

지수함수와 로그함수는 빠르게 증가하거나 감소하는 현상, 매우 큰 수나 작은 수를 표현할 때 사용됩니다.

💰

복리 이자

원금뿐 아니라 이전에 붙은 이자에도 다시 이자가 붙으면서 돈이 지수적으로 증가합니다.

🦠

세균 증식

세균이 일정 시간마다 2배로 늘어난다면 개체 수는 매우 빠르게 증가합니다.

💊

약물 농도

몸속 약물의 양이 일정한 비율로 줄어드는 현상을 지수함수로 표현할 수 있습니다.

🔊

소리의 크기

데시벨은 매우 넓은 범위의 소리 크기를 로그를 이용해 간단히 나타냅니다.

🌍

지진의 규모

지진의 세기는 로그를 이용하여 매우 큰 에너지 차이를 짧은 숫자로 표현합니다.

🧪

산성도 pH

용액의 수소 이온 농도처럼 매우 작은 값을 로그를 사용하여 나타냅니다.

CHECK

간단한 확인 문제

지수와 로그의 관계를 확인해 보세요.

\(3^4=81\)일 때, 이를 로그식으로 바르게 나타낸 것은 무엇일까요?

답을 선택해 보세요.

이 네 가지만 기억하세요!

✖️

지수

같은 수를 몇 번 곱하는지 나타냅니다.

🚀

지수함수

지수가 변하면서 빠르게 증가하거나 감소합니다.

🔍

로그

밑을 몇 번 곱해야 하는지 거꾸로 찾습니다.

🔄

역함수 관계

지수함수와 로그함수는 서로 반대 과정입니다.

지수함수와 로그함수

지수함수 = 반복해서 곱하기

로그함수 = 지수 찾기